Filozofická Fakulta

Katedra logiky

Aktuality

Začínají až v druhém týdnu semestru (od 27.2.)

V letním semestru...

14. únor 2017

dne 14.2. odpadá. Kvůli dalším termínům se na mě prosím obraťte mailem.
14. únor 2017

Seminář katedry logiky se obvykle koná v semestru každé pondělí od 16:30 v učebně č. 119 v Celetné 20.

Program:

19.12.2016 v 16:30: JANA GLIVICKÁ

Nestandardní metody v konstrukci modelů slabých aritmetik

Představím novou metodu konstrukce modelů slabých aritmetik. Použijeme nestandardních metod ke konstrukci jisté elementární extenze standardního modelu aritmetiky, která je uzavřena na operaci *. Tento fakt nám umožní definovat na univerzu této extenze tzv. gradované verze aritmetických operací sčítání a násobení. Ukážeme, jak volbou různých gradací můžeme ovlivňovat platnost některých aritmetických tvrzení ve vzniklých strukturách. Speciálně předvedeme, jak lze touto metodou získat model Robinsonovy aritmetiky, v němž platí hypotéza prvočíselných dvojčat.

12.12.2016 v 16:30: TOMÁŠ LÁVIČKA

Birkhoff's subdirect representation from a broader perspective

It is well known that varieties (resp.. quasi-varieties) are generated by its (relatively) subdirectly irreducible members (Birkhoff's representation). As we will see this representation theorem will not hold in general in the setting of generalized quasi-varieties (classes of algebras described by quasi-equations with countably many premises). I will present some characterization results of Birhoff's representability, which I then use to prove that the proper generalized quasi-variety generated by the [0,1] Lukasiewicz chain is representable in the above sense - the core idea of the proof uses a modification of the well-known topological proof of compactness for classical logic into higher cardinalities.

5.12.2016 v 16:30: ANNA HORSKÁ

Gentzen's cut elimination strategy and Tait's cut elimination strategy in propositional sequent calculus

Nowadays, we usually eliminate cuts by decreasing the cut-rank of the derivation (Tait's strategy). That is, a cut with the greatest complexity is chosen such that there are only smaller cuts above it and this one is then decomposed into smaller cuts. Gentzen applies another strategy in his article of 1935. He eliminates the highest cuts, i.e., cuts that there are no other cuts above them. Hence, this procedure does not pay attention to the complexity of the chosen cut. The main property of cut elimination that we are interested in is the growth of the height of the derivation during the elimination, especially we want to know the height of the cut-free derivation. I want to show that both strategies mentioned above give us the same cut-free derivation in propositional logic. Not only is the height of the cut-free derivations the same, but they also have the same structure. I will define a procedure for eliminating a single cut (according to Buss) which makes global changes to the derivation. Then, I use Church-Rosser property to obtain that cut-free derivations are the same, when the only difference during the elimination is the way we choose the next cut to eliminate.

28.11.2016 v 16:30: MARTIN BLICHA

INTERPOLANTS IN THE CONTEXT OF SOFTWARE VERIFICATION

In the first part we present the role of interpolants in some verification algorithms to demonstrate the usefulness of the concept and the motivation for our work. In the second part we examine interpolation systems for propositional logic (the algorithms for computation of interpolants from a refutation proof), namely symmetric system (Pudlák, Krajíček), McMillan's system, and their generalization, framework of Labeled Interpolation Systems (D'Silva et al.). We conclude with incorporating partial variable assignment into the computation of interpolant, done in the framework of Labeled Partial Assignment Interpolation Systems (Jančík et al.).

31.10.2016 v 17:30: EVA KOLOVRATNÍKOVÁ

NESTOVANÝ SEKVENTOVÝ KALKULUS PRO INTUICIONISTICKOU LOGIKU

Nejprve představíme nestovaný kalkulus pro intuicionistickou logiku a vysvětlíme, jak funguje nestování. Pak přidáme pravidla pro kvantifikátory a získáme kalkulus pro intuicionistickou predikátovou logiku s konstantním univerzem. Následně přidáme omezení, abychom získali kalkulus pro standardní intuicionistickou predikátovou logiku. Na závěr si předvedeme prefixová tabla pro obě varianty intuicionistické logiky a ukážeme, jak transformovat tabla do nestovaných sequentů. (English version of abstract) Firstly, we introduce nested sequent calculus for intuitionistic logics and show how the nesting works. Secondly, we show that standard quantification rules lead to calculus for intuitionistic predicate logic with constant domains. Then we add some restrictions to obtain calculus for standard Intuitionistic predicate logic. Finally, we introduce prefixed tableaux for both variants of Intuitionistic logic and show how we can transform tableaux to nested sequents.

10.10.2016: RADEK HONZÍK

VOPĚNKŮV PRINCIP A VOPĚNKOVI KARDINÁLY

Abstrakt: Vopěnkův princip formuloval Petr Vopěnka a zní takto: Je-li A vlastní třída struktur v daném (množinovém) jazyce, pak existují dvě struktury M a N v A, že M je elementárně vnořitelná do N. Petr Vopěnka navrhl tento princip spíše s představou, že se brzy ukáže jako sporný, nicméně se tak nestalo. Ukážeme, že konzistentní síla tohoto tvrzení je velmi velká; v hierarchii velkých kardinálů se tento princip nachází mezi nejsilnějšími kardinály (např. implikuje konzistenci superkompatních kardinálů). Pozn. Podle obecenstva bude přednáška buď v češtině nebo angličtině.

25.4.2016: PETR GLIVICKÝ

FERMAT'S LAST THEOREM AND CATALAN'S CONJECTURE IN ARITHMETICS WITH WEAK EXPONENTIATION

Abstract: Wiles's proof of Fermat's Last Theorem (FLT) has stimulated a lively discussion on how much is actually needed for the proof. Despite the fact that the original proof uses set-theoretical assumptions unprovable in Zermelo-Fraenkel set theory with axiom of choice (ZFC) - namely, the existence of Grothendieck universes - it is widely believed that "certainly much less than ZFC is used in principle, probably nothing beyond Peano arithmetic, and perhaps much less than that." (McLarty) In this talk, I will present a joint work with V. Kala. We studied (un)provabiliy of FLT and Catalan's conjecture in arithmetical theories with weak exponentiation, i.e. in theories in the language L=(0,1,+,x,exp,<) where the (0,1,+,x,<)-fragment is usually very strong (often even the complete theory Th(N) of natural numbers in that language) but the exponentiation satisfies only basic arithmetical properties and not much of induction. In such theories, Diophantine problems such as FLT or Catalan's conjecture, are formalized using the exponentiation exp instead of the exponentiation definable in the (0,1,+,x,<)-fragment. I will present a natural basic set of axioms Exp for exponentiation (consisting mostly of elementary identities) and show that the theory T=Th(N)+Exp is strong enough to prove Catalan's conjecture, while FLT is still unprovable in T. This gives an interesting separation of strengths of the two famous Diophantine problems. Nevertheless, I show that by adding just one more axiom for exponentiation (the, so called, "coprimality" of exp) the theory becomes strong enough to prove FLT, i.e. FLT is provable in T+"coprimality". (Of course, in the proof of this, we use the Wiles's result too.)

18.4.2016: JAN ŠAROCH

ON A RECENT ALGEBRAIC APPLICATION OF L_{\omega_1,\omega}-COMPACT CARDINALS

11.4.2016: JAN GREBÍK

FRAISSEHO LIMITY A TOPOLOGICKÁ DYNAMIKA

4.4.2016: ŠÁRKA STEJSKALOVÁ

WOODINOVO ŘEŠENÍ HYPOTÉZY KONTINUA

Nastíníme Woodinovu teorii spojenou s tzv. Omega-logikou, která má vést k řešení CH, protože za určitých předpokladů implikuje 2^omega = omega_2. Zmíníme i důvody, které Woodina střídavě vedou také k přijetí CH.

21.3.2016: DEREK VON BARANDY

DEFINITE DESCRIPTIONS AND INDETERMINATE IDENTITY

Terence Parsons advocates the indeterminacy stance—viz. that we should take seriously the possibility that there is some x and some y such that it’s neither true nor false that x = y. I try to show that we shouldn’t take Parsons’ indeterminacy stance seriously. I begin by reflecting on two putative facts: that the definite description ‘author of Word and Object’ is true of the one and only W. V. Quine, and that for anything, it’s either true or not true whether it is the author of Word and Object. Using these putative facts as premises, I then provide a formal proof for the conclusion that for anything, it’s true or false whether it is identical to W.V. Quine. The validity of my proof doesn’t depend on bivalence, and where relevant, I show that the inference rules used in my proof share their form with truth-functional tautologies in Łukasiewicz’s multivalent logic. The upshot is that we shouldn’t take seriously the idea that for some x and some y, it’s neither true nor false that x = y.

14.3.2016: MARTA BÍLKOVÁ

UNIFORM INTERPOLATION IN PROVABILITY LOGICS VIA PROOF THEORY

Craig interpolation is the property that says that every provable implication of a logic can be interpolated by a formula in the common language of its antecedent and consequent. Uniform interpolation is a strengthening of this property: the interpolant only depends on one of the two formulas and a choice of its variables which it should not contain (it is sometimes called forgetting variables). In this talk, we concentrate on modal propositional logics, namely provability logics GL and Grz. The uniform interpolation property for GL was first proved by Shavrukov, and later for GL and Grz by Albert Visser via simulation of propositional bisimulation quantifiers, using semantical methods. Looking at the simulation proof theoretically, one observes that the uniform interpolation property relates to existence of analytical proof calculi allowing for terminating proof search (such method was first used by Pitts who proved uniform interpolation for intuitionistic logic). We show how to use such calculi in proving the uniform interpolation property for modal logics. The proof can be seen as a recursive construction of formulas simulating propositional bisimulation quantifiers, but also as a construction of a certain normal form of a given formula and then erasing the unwanted variables.

22.2.2016: RADEK HONZÍK

THE TREE PROPERTY ON THE DOUBLE SUCCESSOR OF A SINGULAR

16.11.2015: TOMÁŠ LÁVIČKA

ZÚPLNĚNÍ BOOLEOVÝCH ALGEBER A INTUICIONISTICKÁ LOGIKA

Cílem přednášky bude dokázat větu o zúplnění Booleových algeber (BA). Tedy ukázat, že ke každé BA existuje úplná BA hustě obsahující kopii původní algebry. V důkaze budeme postupovat, věřím, pro logika zajímavou a přístupnou cestou: využijeme vět o úplnosti pro intuicionistickou logiku (zejména pak pro Kripkovskou sémantiku). V důkaze tak většinu podtvrzení převedeme na otázku tautologičnosti určitých formulí v intuicionistické logice. Jedinou požadovanou znalostí pro pochopení přednášky je základní vztah IL a Kripkovské sémantiky.

23.3.2015: VÍTĚZSLAV ŠVEJDAR

SLABÝ PHP PRINCIP V ARITMETICE

Klasický důkaz Parise-Kirbyho, že ze \Sigma_n indukce neplyne \Sigma_n kolekce, se pokusíme prohlédnout z toho hlediska, že kromě \Sigma_n kolekce je v něm porušen ještě i slabší princip, tvrdící že neexistuje \Sigma_{n+1} definovatelná omezená prostá funkce. Přednáška bude doplněním a opravou dřívějšího příspěvku na toto téma.

16.3.2015: ADAM PŘENOSIL

ELEMENTÁRNÍ MODÁLNÍ LOGIKY A KANONICITA

Podstatná část modálních logik "ze života" je elementární, tedy úplná vůči nějaké prvořádově definovatelné třídě kripkovských rámců, např. třídě všech reflexivních tranzitivních rámců. Klasický výsledek ze 70. let tvrdí, že každá takováto logika je kanonická, tedy úplná vůči svému kanonickému rámci přirozeně vybudovanému ze syntaktického materiálu dané logiky. Platnost opačné implikace byla dlouho otevřenou otázkou, až roku 2004 byla nalezen příklad kanonické ale neelementární logiky, který staví na starším Erdősově výsledku z teorie grafů. Představíme si základní pojmy, na kterých tato konstrukce stojí: kanonické rozšíření, diskriminátor, booleovský produkt.

9.3.2015: RADEK HONZÍK

WOODIN'S HOD CONJECTURE

Několik poznámek k Woodinově domněnce ohledně vztahu mezi V a HOD.

5.1.2015: ANNA HORSKÁ

ELIMINACE ŘEZU V NEKONEČNÉM KALKULU PRO DŮKAZ GENTZENOVY VĚTY

Gentzen vo svojom dôkaze bezespornosti PA z roku 1935 formuluje Hilfssatz, ktorý predstavuje špeciálny prípad eliminácie rezu v nekonečnom kalkule zostavenom z Gentzenových redukčných krokov. Chcela by som ukázať môj dôkaz toho, že táto eliminácia rezu sa dá spraviť úspornejšie ako s exponenciálnym nárastom výšky výsledného bezrezového odvodenia. Nie je vylúčené, že tam mám chybu, takže to bude skôr pracovný seminár.

1.12.2014: JIŘÍ RACLAVSKÝ

BETA REDUKCE V (TICHÉHO) PARCIÁLNÍM LAMBDA KALKULU

Po lehkém úvodu do \lambda-kalkulu si připomeneme základní verze jeho ústředního početního pravidla, \beta-redukce. V hlavní části přednášky nejprve uvedeme Tichého parciální typovaný \lambda-kalkul. Postupně pak analyzujeme pojem \beta-redukce. Zejména zhodnotíme Tichého variantu \beta-redukce a navrhneme její reformulaci pro oblast mimo sekvenční kalkul.

24.11.2014: MICHAL PELIŠ

PUBLIC ANNOUNCEMENT LOGIC

V příspěvku si připomeneme reprezentaci znalostí v epistemické logice a základní filosofii dynamizace epistemických logik. Hlavním tématem však bude jednoduchá varianta dynamické epistemické logiky, tzv. logika veřejného vyhlášení (public announcement). Zmíníme vlastnosti tohoto systému a problémy, s nimiž se zde musíme potýkat. Na závěr naznačíme roli PAL v logické analýze komunikace.

3.11.2014: ADAM PŘENOSIL

BLOKOVA-ESAKIOVA VĚTA

Přednáška se bude týkat vztahu modálních a superintuicionistických logik. Jak známo, Gödel už začátkem 30. let definoval překlad z intuicionistické logiky do modální logiky S4, o kterém o 15 let později McKinsey a Tarski dokázali, že se jedná o vnoření IL do S4. Podle věty, kterou v roce 1976 nezávisle na sobě dokázali Blok a Esakia, však platí mnohem víc: tento překlad ve skutečnosti definuje izomorfismus mezi svazem superintuicionistických logik a svazem normálních rozšíření modální logiky S4.Grz.

20.10.2014: ANNA HORSKÁ

GENTZENŮV DŮKAZ A ORDINÁL GAMMA_0

Skonštruujeme ordinál \Gamma_0, ktorý je dôkazovo-teoretickým ordinálom pre ATR_0. Seminár bude skôr oddychový, možno aj opakovací. Zaujímavé by to mohlo byť preto, že jediný významný konštruktívny ordinál, s ktorým som sa doteraz stretla bol \epsilon_0 (popravde ale, neviem ako ostatní...).

13.10.2014: RADEK HONZIK

SATISFACTION IN OUTER MODELS AND BARWISE'S COMPLETENESS THEOREM

(Přednáška bude v češtině nebo angličtině podle posluchačů). Je-li M tranzitivni model ZFC, a N je nadmnožinou M se stejnými ordinály, která je rovněž tranzitivním modelem ZFC, řekneme, že N je vnějším modelem M. Budeme se zabývat otázkou, jestli M může prvořádově definovat splňování ve všech svých vnějších modelech. Ukazuje se, že tato otázka souvisí s tzv. "V"-logikou, infinitární logikou, pro kterou máme úplnost (Barwise's completeness). Přednáška představí téma a ukáže nějaké původní výsledky.

12.5.2014: PAVEL ARAZIM

DŮKAZ LINDSTRöMOVY VĚTY

Lindströmova věta je silný výsledek charakterizující klasickou prvořádovou logiku. Formuluji několik jejích variant, zmíním nejdůležitější filosofické reakce na ni a předvedu hlavní kroky důkazu.

5.5.2014: ŠÁRKA STEJSKALOVÁ

NEZNIČITELNOST STROMOVÉ VLASTNOSTI

V přednášce představím Spencerův důkaz věty, která říká následující: Jestliže jsme v modelu M, který vznikl pomocí Mitchellova forcingu a tedy v něm platí stromová vlastnost na omega2, tak malý ccc forcing nepřidá omega2-Aronszajnův strom do M a tedy se neporuší stromová vlastnost na omega2. Podobný, nicméně trochu komplikovanější důkaz projde i pro Cohenův forcing, který přidává podmnožiny omegy a tedy v modelu, kde platí stromová vlastnost na omega2 může funkce kontinua na omega nabývat téměř libovolné hodnoty.

14.4.2014: MARTA BÍLKOVÁ

SUBSTRUKTURÁLNÍ EPISTEMICKÁ LOGIKA

V přednášce představím jedno nestandardní rozšíření (distributivních) substrukturálních logik (např. distributivní Lambekův kalkul nebo relevanční logiky), které je možno sémanticky chápat jako logiky informačních stavů, o epistemickou modalitu "potvrzené znalosti", která je existenční a nikoli universální, jak je v epistemických logikách běžné. Zabývat se budu relační sémantikou a axiomatikou této logiky, platnými a neplatnými epistemickými formulemi a jimi definovanými třídami rámců, úplností a rozhodnutelností.

7.4.2014: MICHAL PELIŠ

REPREZENTANCE ZNALOSTÍ (A INFORMACÍ) V MODÁLNÍCH LOGIKÁCH

Podíváme se na revoluci v modelování znalostí, kterou přinesla "moderní" modální logika, tj. modální logika s kripkovskou sémantikou. Zavedeme si epistemickou logiku modelující individuální i skupinové znalosti a budeme se zabývat problémy, které s sebou takové reprezentace přináší (slabší verze znalosti, problém logické vševědoucnosti a problémy skupinových znalostí). Podle času zmíníme i modelování komunikace pomocí těchto logik (dynamické epistemické logiky).

31.3.2014: Jonathan Verner

SIGMA-MONOTONNÍ METRICKÉ PROSTORY VELIKOSTI $\aleph_1$

We say that a metric space X is monotonne if there is a linear order on $X$ such that whenever $x < y < z$ are three points of $X$ then the distances satisfy $d(x,y) \leq d(x,z)$. A space is $\sigma$-monotonne if it is the union of countably many monotonne spaces. I will discuss the question whether there is, in ZFC, a $\sigma$-monotonne space of size $\aleph_1$. As a motivation I will show the proof that it is consistent that each separable metric space of size $\aleph_1$ is $\sigma$-monotonne. Time permitting, I will also discuss somewhat related questions of bi-Lipschitz embeddability of $\aleph_1$ dense metric spaces which are motivated by an old theorem of Baumgartner.

17.3 a 24.3.2014: Jonathan Verner

P-BODY A ZFC

Náčrt důkazu slavného Shelahova výsledku konzistence ZFC a neexistence p-bodů.

10.3.2014: Adam Přenosil

INTUICIONISTICKÁ MODÁLNÍ LOGIKA

Zavedeme si relační a algebraickou sémantiku pro standardní intuitionistickou modální logiku, ukážeme jejich ekvivalenci, a povíme si některé další známé i nové výsledky o intuicionistické a bi-intuicionistické modální logice.

24.2. a 3.3.2014: Jana Glivická

ARITMETICKÉ TEORIE A JEJICH MODELY

Představím probíhající práci v oblasti modelů aritmetických teorií. Jedním směrem je studium (peanovských) součinů jako expanzí daného saturovaného modelu Presburgerovy aritmetiky a souvisejích tzv. lineárních aritmetik. Druhým směrem je pohled na modely aritmetik jako na celočíselné části (rekurzivně) saturovaného reálně uzavřeného tělesa. Některé výsledky pocházejí už ze 70. let, ale jiné, spolu s celou řadou otevřených problémů, jsou loňské či letošní.

17.2.2014: Radek Honzík

AD IMPLIKUJE, ŽE $\omega_1$ JE MĚŘITELNÝ KARDINÁL

Nastíníme důkaz tohoto tvrzení s využitím filtru na Turingovských stupních (Solovay-Martin).

16.12.2013 a 6.1.2014: Magdalena Hykšová

TEORIE ALGEBRAICKÝCH ČÍSEL -- pohled do historie

V přednášce se budeme věnovat historii teorie algebraických čísel, jejíž kořeny sahají do konce 18. a především pak první poloviny 19. století. Jednou z motivací pro její rozvoj bylo studium zákonů reciprocity vyšších řádů, dalším stimulem byla snaha o důkaz velké Fermatovy věty. Nejprve byla studována aritmetika v okruzích Gaussových celých čísel Z[i] a cyklotomických celých čísel Z[\alpha], kde \alpha je (komplexní) odmocnina z jedné, později v okruhu celých algebraických čísel, tj. takových čísel tělesa Q(\alpha), která jsou kořeny nějakého monického polynomu s koeficienty v Z. Podíváme se na tři různé přístupy k obecné teorii algebraických čísel, které byly představeny v 70. a 80. letech devatenáctého století a dále pak rozvíjeny ve století dvacátém: Dedekindovu teorii ideálů, Kroneckerovu teorii divisorů a Zolotarevovu teorii ideálních čísel.

2.12.2013: Lukáš Holík

ROSSEROVSKÁ LOGIKA

Snaha o vytvoření podmínek pro řešení Rosserovy věty v modální logice vedla k vytvoření Rosserovy logiky rozšířením logiky dokazatelnosti o modalitu porovnávající délky důkazů formulí. Podíváme se na výhody takto vzniklé logiky, na její nevýhody a pozadí tohoto problému.

25.11.2013: Michal Peliš

LOGIKA OTÁZEK -- ZÁKLADNÍ MOTIVACE A PROBLÉMY

Úvodní přednáška.

18.11.2013: Pavel Arazim

PRVOŘÁDOVÁ NEBO DRUHOŘÁDOVÁ LOGIKA?

Poznámky ke sporu S.J. Wagnera a S. Shapira.

11.11.2013: Jonathan Verner

KARDINÁLNÍ INVARIANTY KONTINUA

Kardinální invarianty kontinua původně vznikly v souvislosti se snahou dokázat nebo vyvrátit Cantorovu Hypotézu kontinua. Po krátkém úvodu do problematiky se zaměřím na dva invarianty, tzv. bounding number a splitting number. Pokusím se nastínit důkazy jejich vzájemné nezávislosti (s axiomy ZFC je konzistentní jak nerovnost s < b, tak nerovnost b < s) s důrazem na důkaz konzistence (b < s). Pokusím se představit novější důkaz této konzistence a zároveň naznačit souvislosti s dalšími problémy.

21.10.2013 a 4.11.2013: Michal Dančák

STUPNĚ INTERPRETOVATELNOSTI, aneb částečné vyřešení 35 let starého problému

Na přednášce si rozebereme čerstvý letošní článek Alberta Vissera o stupních interpretovatelnosti jistých teorií. V něm zodpověděl otázku, kterou si položil Vítězslav Švejdar v roce 1978. Problém je stručně řečeno následující: máte konečnou teorii T, která interpretuje Robinsonovu aritmetiku. Vezmete všechna rozšíření T v jejím jazyce a uspořádáte je podle relace interpretovatelnosti. Jaká struktura vám vznikne? Konkrétně, vznikne vám svaz? A ještě konkrétněji, je tato struktura, stvořená nad teorií množin GB (NBG), svaz? Částečnou odpověď poskytl už Švejdar, Visser doplnil jinou část (a přidal několik dalších zajímavých souvisejících věcí, na které možná taky zbyde čas).

14.10.2013: Radek Honzík

NOVÉ AXIOMY PRO TEORII MNOŽIN: MULTIVERSE VS. HYPERUNIVERSE

Ukážeme různé přístupy k hledání nových axiomů pro teorii množin.

6.5.2013 a 13.5.2013: Anna Horská

LOW BASIS THEOREM 

Chcela by som ukázať dôkaz Low basis teorému, ktorý v roku 1972 dokázali páni Jockusch a Soare. Teorém pojednáva o \Pi^0_1 triedach (isté množiny funkcií). \Pi^0_1 triedy sa dajú reprezentovať ako množiny nekonečných vetiev rekurzívnych stromov. Teorém hovorí, že každá takáto množina obsahuje funkciu, ktorej jump leží v stupni pre problém zastavania (táto funkcia má tzv. low degree). Zaujímavé to je, pretože nám to dáva informácie o vlastnostiach úplnych rozšírení PA, ktoré tiež tvoria \Pi^0_1 triedu.

15.4.2013 a 22.4.2013: Michal Dančák

ROVNOST, NEROVNOST A ODDĚLITELNOST

V přednášce se budu věnovat tomu, jak se změní chování teorie rovnosti EQ, když místo klasické logiky vezmeme jako podklad logiku intuicionistickou. Vzhledem k tomu, že zákon vyloučení třetího není intuicionisticky platný, získá vztah rovnosti a nerovnosti novou dynamiku. Zavedeme tedy do jazyka ještě binární relaci oddělitelnosti, chovající se "téměř" jako nerovnost: dva prvky jsou si rovny tehdy a jen tehdy, když nejsou oddělitelné. Vzniknuvší teorie oddělitelnosti AP bude ale výrazně silnější. Nebude konzervativním rozšířením nejen teorie EQ, ale ani teorie EQ + axiom stability, tj. že dvojitá negace rovnosti implikuje rovnost samotnou. Hlavním cílem přednášky proto bude najít takovou teorii v jazyce odsahujícím jen rovnost, nad níž teorie AP konzervativní bude.

18.3.2013 a 25.3.2013: Tomáš Holeček

SYSTÉMY PŘÍBUZNÉ PRINCIPIA MATHEMATICA

Ve dvou přednáškách bude promyšlena nedefinovanost primitivních idejí výroku a výrokové funkce a podoba důkazů v Principia Mathematica. Ve srovnání s dnešním přístupem k jazyku logiky a důkazům, a ve vypracování vztahu Principií k němu, bude předvedena logická analýza matematiky jako charakteristika "systému", od níž by se "příbuznost" měla odvíjet.

4.3.2013 a 11.3.2013: Veronika Douchová

BRANCHING-TIME LOGICS

Představíme způsob, jak v temporální logice modelovat časový tok ve formě stromu. Přednáška nepředpokládá předchozí znalost tématiky. Zavedeme základní definice, zmíníme filosofické motivace a definujeme vhodnou sémantiku (Ockhamist frames) pro tuto logiku. 

18.2.2013 a 25.2.2013: Radek Honzík

TREE PROPERTY: ZÁKLADNÍ TECHNIKY A NOVÉ VÝSLEDKY

Říkáme, že regularní kardinál kappa má tree property (TP(kappa)), jestliže každý kappa-strom má kofinální větev. TP(kappa) je tedy jistá verze kompaktnosti pro objekty velikosti kappa: každý kappa-strom má větev délky alpha pro alpha < kappa; existuje za těchto předpokladů větev délky kappa? Königova věta říká, že TP(omega) je dokazatené v ZFC. Za předpokadu GCH platí nonTP(kappa^+) pro každý regulární kardinál kappa. Může platit TP(kappa) pro regulární a limitní kappa? Může platit TP(omega_2) za předpokladu nonCH? A co TP(omega_2) a současně TP(omega_3)? Ukazuje se, že TP souvisí s velkými kardinály a některé otázky jsou obtížně řešitelné. Ukážeme základní forcingové techniky a zmíníme nové výsledky.

KONEC ZIMNÍHO SEMESTRU 2012/2013.

3.12.2012 a 10.12.2012: Vítězslav Švejdar

ÚVOD DO SILNÝCH FRAGMENTŮ PA

Ukážeme si vztahy mezi principy indukce, nejmenšího prvku a kolekce, jsou-li omezeny pouze na formule určité složitosti, tj. Sigma_n, Pi_n nebo Delta_n. A něco ze základního článku od Parise a Kirbyho.

12.11. a 19.11.2012: Pavel Arazim

DELTA_0-DEFINOVATELNOST MOCNINY

Bude vysvětlen Pudlákův důkaz Bennetova výsledku, že mocnina, jako funkce dvou proměnných na přirozených číslech, má graf, který je Delta_0. Tento výsledek je důležitý pro definování některých užitečných aritmetik mezi IDelta_0 a ISigma_1.

22. 10. a 29. 10. 2012: Jana Glivická

ZF A ZFC NEJSOU BI-INTERPRETOVATELNÉ

Definuju pojem bi-interpretovatelnosti dvou teorií a pokusím se ukázat, že se nekryje se vzájemnou interpretovatelností. Příkladem budou teorie ZF a ZFC, které jsou vzájemně interpretovatelné, ale ne bi-interpretovatelné. Protože bi-interpretovatelnost si vynucuje, aby jisté modely měly stejné grupy automorfismu, problém se nakonec přesune k hledání modelu ZF s netriviálním automorfismem řádu 2. Důkaz toho, že takový model a automorfismus lze najít, podal Cohen pomocí forcingu přes nestandardní model už roku 1971. Já se ho pokusím přeříkat.

8. 10. a 15. 10. 2012: Michal Dančák

LOGIKA HYBRIDNÍCH AKČNÍCH MODELŮ I, II

V dynamických epistemických logikách poslední dobou probíhá bouřlivý vývoj. Nejnadějněji vypadá systém akčních modelů od autorů Hans van Ditmarsch, Wiebe van der Hoek a Barteld Kooi. Tento systém jsem se rozhodl skloubit s hybridními logikami, což agentům umožňuje mluvit nejen o faktech a akcích, ale i o tom, v jakých stavech světa se zrovna pohybují. Po úvodu, kde představím jak akční modely, tak hybridní logiky, bude následovat hlavní téma – logika HAM.